Тема "Метод замены переменной (способ подстановки)"

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .
В данном примере множитель , стоящий под знаком интеграла, есть производная от выражения , стоящего в числителе, следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
.
Тогда:
.
Ответ: .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл .
В данном примере подынтегральная функция содержит два полинома и , второй степени и третей степени соответственно. Легко проверить, что первый полином есть, с точностью до константы, производная от второго полинома:
.
Следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
;
умножим левую и правую части последнего равенства на 2:
.
Тогда:
.
Ответ: .

Пример 3. Найти неопределенный интеграл .
Прежде чем применить метод замены переменной, преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу для синуса двойного аргумента и правила тождественных преобразований:

Теперь можно увидеть, что множитель есть производная от , следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
.
Тогда:

Ответ:

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .
Прежде чем применить метод замены переменной, преобразуем подынтегральную функцию. Вынесем в подкоренном выражении общий множитель за скобки, а затем и из-под корня:
.
Поскольку множитель , стоящий под интегралом, есть, с точностью до константы, производная от выражения , то для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
;
умножим левую и правую части последнего равенства на :
.
Тогда:

Ответ:

Пример 5. Найти неопределенный интеграл .
Прежде чем применить метод замены переменной, преобразуем подынтегральную функцию:
.
Теперь легко увидеть, что числитель есть, с точностью до константы, производная от знаменателя :
.
Следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
;
умножим левую и правую части последнего равенства на (–1):
.
Тогда:
.
Ответ: .

Пример 6. Найти неопределенный интеграл .
Для того чтобы применить метод замены переменной, предварительно преобразуем подынтегральную функцию, используя понятие степени с дробным показателем и свойства арифметических корней:
.
Теперь можно увидеть, что множитель является, с точностью до константы, производной от выражения :
.
Следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,
;
умножим левую и правую части последнего равенства на :
.
Тогда:

Ответ: .

Пример 7. Найти неопределенный интеграл .
Для нахождения данного интеграла сначала разложим числитель подынтегральной функции по формуле синуса двойного угла , а затем используем замену:
,
.
В результате получим:
.
Для то чтобы привести последний интеграл к табличному, необходимо еще раз применить метод замены переменной. В данном случае числитель подынтегральной функции есть производная от выражения , поэтому делаем замену:
,
.
Тогда, делая вторую замену и в конце возвращаясь к исходной переменной, получим:

Замечание: данный ответ мог быть также получен и более коротким способом с помощью только одной замены , .
Ответ: .