Тема "Теоремы сложения и умножения веротностей"

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.
Суммой двух событий и называют событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Другими словами, вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих.
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
.
Теорема. Сумма вероятностей попарно несовместных событий , образующих полную группу, равна единице:
.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
Событие, противоположное событию , принято обозначать .
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равны единице:
.
Произведением двух событий и называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого события в одном и том же испытании.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
.

Условной вероятностью называют вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.
Условная вероятность события при условии, что событие уже наступило, по определению, равна:
.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились:
.
Событие называют независимым от события , если появление события не меняет вероятности появления события , то есть если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:
.
Свойство независимости событий взаимно: если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:
.
Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.
Несколько событий называют независимыми в совокупности, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :
.