Ряды Фурье

Функциональный ряд вида

называется тригонометрическим рядом. При этом числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Тригонометрический ряд также записывают в виде .

Коэффициенты, определяемые по формулам

,
,
,
называются коэффициентами Фурье функции , а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции .

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из этих интервалов функция монотонна, то есть либо невозрастающая, либо неубывающая.

Теорема. Если периодическая функция с периодом является кусочно-монотонной и ограниченной на отрезке , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции справа и слева.

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом , заданную следующим образом:

Решение.

Данная функция является кусочно-монотонной и ограниченной, следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.
Вычислим коэффициенты Фурье для заданной функции. Поскольку функция равна нулю на промежутке , то для нахождения коэффициентов Фурье интегрирование будем производить только в пределах от до 0.

.

При нахождении коэффициентов будем использовать свойство четности функции и нечетности функции , а также формулу интегрирования по частям для определенного интеграла , где в данном случае:

Далее заметим, что при любом значении , а равен 1 при четном и –1 при нечетном , т.е. . Таким образом:

При нахождении коэффициентов будем также использовать формулу интегрирования по частям для определенного интеграла , причем:

В результате получаем, что ряд Фурье для заданной функции имеет вид

В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов слева и справа, т.е. .

Ответ: