Сходимость рядов. Признак Даламбера

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .

Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение -го члена ряда к -му при имеет конечный предел , т.е. , то:
- ряд сходится в случае ,
- ряд расходится в случае .
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.

Примеры решения задач

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Применим признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого положительного числа функция (читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. , то .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение.

Используем признак сходимости Даламбера. Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

С учетом того, что , найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

.

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Сначала запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Затем найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку , то данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда , пользуясь признаком сходимости Даламбера.

Решение.

Предварительно вспомним, что для каждого целого положительного числа функция , по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до , т.е. .

Тогда для и получим: , .

Теперь запишем формулы для -го и -го членов ряда:

Далее найдем предел отношения -го члена ряда к -му при :

Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 , устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.

Задания для самостоятельной работы

Исследовать сходимость ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:
1. . Ответ: , ряд расходится.

2. . Ответ: , ряд сходится.

3. . Ответ: , ряд расходится.

4. . Ответ: , ряд сходится.

5. . Ответ: , ряд расходится.

6. . Ответ: , ряд расходится.

7. . Ответ: , ряд сходится.

8. . Ответ: , ряд сходится.

9. . Ответ: , ряд сходится.

10. . Ответ: , ряд сходится.

11. . Ответ: , ряд сходится.

12. . Ответ: , ряд сходится.

13. . Ответ: , ряд расходится.

14. . Ответ: , ряд сходится.

15. . Ответ: , ряд расходится.

16. . Ответ: , ряд сходится.