Сходимость рядов. Признак Даламбера
Пусть задана бесконечная
последовательность чисел
. Выражение
называется числовым рядом. При этом числа
называются членами ряда.
Числовой ряд часто записывают в виде .
Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится,
то его -й
член стремится к нулю при неограниченном возрастании
.
Следствие. Если -й
член ряда не стремится к нулю при
,
то ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами
отношение
-го
члена ряда к
-му
при
имеет конечный предел
,
т.е.
,
то:
- ряд сходится в случае ,
- ряд расходится в случае .
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос
о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести
дополнительное исследование.
Примеры решения задач
Пример 1.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Применим признак сходимости
Даламбера. Сначала запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
Затем найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела
с 1. Поскольку ,
то данный ряд расходится.
Ответ: ряд
расходится.
Пример 2.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Применим признак сходимости
Даламбера. Запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
Найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку ,
то данный ряд сходится.
Ответ:
ряд
сходится.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Используем признак сходимости
Даламбера, а также определение функции факториал. Поскольку для каждого целого
положительного числа
функция
(читается «n факториал»), по определению, равна произведению всех целых чисел
от 1 до
,
т.е.
,
то
.
Теперь запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
С учетом вышесказанного найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд сходится.
Пример 4.
Исследовать сходимость ряда .
Решение.
Используем признак сходимости
Даламбера. Запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
С учетом того, что ,
найдем предел отношения
-го
члена ряда к
-му
при
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд расходится.
Ответ: ряд
расходится.
Пример 5.
Исследовать сходимость ряда ,
пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
.
Далее найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд расходится.
Ответ: ряд
расходится.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда ,
пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
Далее найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
И последнее, сделаем вывод о сходимости ряда, сравнив полученное значение предела
с 1. Поскольку ,
то данный ряд сходится.
Ответ: ряд
сходится.
Пример 7.
Исследовать сходимость ряда ,
пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Сначала запишем формулы
для -го
и
-го
членов ряда:
Затем найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
Сравним полученное значение предела с 1. Поскольку ,
то данный ряд сходится.
Ответ:
ряд
сходится.
Пример 8.
Исследовать сходимость ряда ,
пользуясь признаком сходимости Даламбера.
Решение.
Предварительно вспомним,
что для каждого целого положительного числа
функция
,
по определению, равна произведению всех целых чисел от 1 до
,
т.е.
.
Тогда для
и
получим:
,
.
Теперь запишем формулы для -го
и
-го
членов ряда:
Далее найдем предел отношения -го
члена ряда к
-му
при
:
Вывод о сходимости ряда: сравнив полученное значение предела с 1 ,
устанавливаем, что данный ряд сходится.
Ответ: ряд
сходится.
Задания для самостоятельной работы
Исследовать сходимость
ряда, пользуясь признаком сходимости Даламбера:
1. .
Ответ:
,
ряд расходится.
2. .
Ответ:
,
ряд сходится.
3. .
Ответ:
,
ряд расходится.
4. .
Ответ:
,
ряд сходится.
5. .
Ответ:
,
ряд расходится.
6. .
Ответ:
,
ряд расходится.
7. .
Ответ:
,
ряд сходится.
8. .
Ответ:
,
ряд сходится.
9. .
Ответ:
,
ряд сходится.
10. .
Ответ:
,
ряд сходится.
11. .
Ответ:
,
ряд сходится.
12. .
Ответ:
,
ряд сходится.
13. .
Ответ:
,
ряд расходится.
14. .
Ответ:
,
ряд сходится.
15. .
Ответ:
,
ряд расходится.
16. .
Ответ:
,
ряд сходится.