Тема "Несобственный интеграл"

Пример 1. Исследовать на сходимость интеграл .
Сначала установим, имеет ли подынтегральная функция точки разрыва на интервале интегрирования. Для этого найдем корни квадратного уравнения . Вычислим дискриминант: . Так как , то на множестве действительных чисел это уравнение решений не имеет. Следовательно, и точек разрыва нет.
Таким образом, данный интеграл есть интеграл с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции. Для ответа на вопрос о сходимости этого интеграла нужно найти предел:
.
Выделим полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции:
.
Подставим полученное выражение в последний интеграл и применим метод замены переменной:

Ответ: несобственный интеграл сходится и равен .

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл .
Данный интеграл есть интеграл с бесконечным нижним пределом от непрерывной функции. Для ответа на вопрос о сходимости этого интеграла нужно найти предел:
.
Чтобы вычислить интеграл, стоящий под знаком предела, используем формулу интегрирования по частям для определенного интеграла :

В нашем случае получим:

Найдем отдельно третий и первый пределы, используя для удобства замену причем при :

.
Для раскрытия неопределенности в последнем пределе используем правило Лопиталя :

Подставим полученные значения в исходный предел:

Следовательно, .
Ответ: несобственный интеграл сходится и равен .

Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл .
Данный интеграл есть интеграл с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции. Для ответа на вопрос о сходимости этого интеграла нужно найти предел:
.
Чтобы вычислить интеграл, стоящий под знаком предела, используем метод замены переменной. Поскольку множитель , стоящий под интегралом, есть, с точностью до константы, производная от выражения , то для нахождения интеграла воспользуемся заменой:


Тогда

Поскольку предел равен конечному числу, то несобственный интеграл сходится и равен :

Ответ: несобственный интеграл сходится и равен .

Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл .
В данном примере подынтегральная функция терпит разрыв в нижнем пределе (т.е. при ), так как в знаменателе . Следовательно, для ответа на вопрос о сходимости интеграла от разрывной функции, необходимо найти предел:
.
Чтобы вычислить интеграл, стоящий под знаком предела, используем метод замены переменной. Поскольку множитель , стоящий под интегралом, есть производная от , то для нахождения интеграла воспользуемся заменой:


Тогда

Так как при не имеет конечного предела, то интеграл не существует или расходится.
Ответ: интеграл расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .
Выражение, стоящее в знаменателе подынтегральной функции, обращается в 0 при (т.е. в нижнем пределе). Следовательно, для ответа на вопрос о сходимости интеграла от разрывной функции, необходимо найти предел:
.
Чтобы вычислить интеграл, стоящий под знаком предела, можно воспользоваться метод замены переменной или применить для нахождения первообразной следующее правило интегрирования:
если , то .
Воспользуемся вышеприведенным правилом, тогда:

Следовательно, .
Ответ: несобственный интеграл сходится и равен 6.

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .
В данном примере подынтегральная функция терпит разрыв в верхнем пределе (т.е. при ), так как в знаменателе . Следовательно, для ответа на вопрос о сходимости интеграла от разрывной функции, необходимо найти предел:
.
Чтобы вычислить интеграл, стоящий под знаком предела, преобразуем знаменатель с использованием основного тригонометрического тождества, записанного для половинного аргумента (), и формулы для косинуса двойного угла для аргумента ():

Таким образом,

При вычислении первообразной для интеграла можно воспользоваться методом замены переменной или правилом интегрирования:
если , то .
Так как при не имеет конечного предела, то интеграл не существует или расходится.
Ответ: интеграл расходится.