Тема "Множества и операции над ними"

Одними из основных, исходных понятий математики являются понятия множества и его элементов.
Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента множеству обозначается .
Множество может быть задано перечислением (то есть списком своих элементов), порождающей процедурой (то есть способом получения) или описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы.
Множество называют подмножеством множества , если всякий элемент множества является элементом множества , обозначают .
Если и , то называют строгим или истинным подмножеством и обозначают .
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называют конечным.
Если число элементов множества бесконечно, то его называют бесконечным.
Число элементов в конечном множестве , называют мощностью и обозначают .
Множество мощности 0, то есть не содержащее элементов, называют пустым и обозначают .
Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества.

Операции над множествами

Объединением множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств и :
.
Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству и множеству :
.
Разностью множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов множества , которые не содержатся в множестве :
.
Прямым произведением множеств и называется множество всех пар , таких, что . В частности, если , то прямое произведение обозначается .
Для прямого произведения упорядоченный набор элементов еще называют вектором, – его -ой компонентой (координатой), а – длиной вектора.
Теорема. Пусть – конечные множества и . Тогда мощность множества равна произведению мощностей множеств :
.
Проекцией вектора на -ю ось называется его -я компонента (координата).
Пусть – множество векторов одинаковой длины. Тогда проекцией множества на -ю ось называется множество проекций всех векторов из на -ю ось:
.
Соответствием между множествами и называется подмножество . Если , то говорят, что соответствует при соответствии .
Множество называется областью определения соответствия, множество называется областью значений соответствия. Если , то соответствие называют всюду определенным или полностью определенным.
Множество всех , соответствующих , называется образом в при соответствии .
Множество всех , которым соответствует , называется прообразом в при соответствии .
Соответствие называется функциональным, если образ любого элемента из является единственный элемент из .
Функцией называется функциональное соответствие.
Если функция устанавливает соответствие между множествами и , то говорят, что функция имеет тип . Каждому элементу из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент из области значений, это обозначают .