Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть имеется поверхность, заданная уравнением . Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку , называется касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проведенная через точку поверхности , перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке записывается в виде:
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:
.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением , в точке записывается в виде: .

Так как в условии задачи уравнение поверхности задано в явном виде, то сначала его необходимо преобразовать к виду : .

Теперь найдем частные производные (при этом, в первых двух случаях используем правило дифференцирования сложной функции одной переменной):

Вычислим значения частных производных первого порядка в точке :

Подставим полученные значения в уравнение касательной плоскости:

.

Как известно, уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением , в точке записывается в виде: .

Поскольку нормаль к поверхности есть (по определению) прямая линия, а в каноническом уравнении прямой числа, стоящие в знаменателях дробей, суть – координаты направляющего вектора этой прямой, то равенство нулю знаменателя первой дроби – , означает, что данная прямая лежит в плоскости, перпендикулярной оси , и первые координаты всех точек этой прямой совпадают между собой и равны первой координате точки , так как по условию через нее проходит нормаль к поверхности.

Таким образом, уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением , в точке записывается в виде:

Ответ: 1) – уравнение касательной плоскости к поверхности в точке ;
2) – уравнение нормали к этой поверхности в той же точке.