Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть имеется поверхность,
заданная уравнением .
Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности,
проходящим через данную точку
,
называется касательной плоскостью к поверхности в точке
.
Прямая, проведенная через точку
поверхности
,
перпендикулярно к касательной плоскости называется нормалью к поверхности.
Если поверхность задана уравнением ,
то уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке
записывается в виде:
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде:
.
Примеры решения задач
Пример 1.
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке
.
Решение.
Уравнение касательной плоскости
к поверхности, заданной уравнением ,
в точке
записывается в виде:
.
Так как в условии задачи уравнение поверхности задано в явном виде, то сначала
его необходимо преобразовать к виду :
.
Теперь найдем частные производные
(при этом, в первых двух случаях используем правило дифференцирования сложной
функции одной переменной):
Вычислим значения частных
производных первого порядка в точке :
Подставим полученные значения в уравнение касательной плоскости:
.
Как известно, уравнение
нормали к поверхности, заданной уравнением ,
в точке
записывается в виде:
.
Поскольку нормаль к поверхности есть (по определению) прямая линия, а в каноническом
уравнении прямой числа, стоящие в знаменателях дробей, суть – координаты направляющего
вектора этой прямой, то равенство нулю знаменателя первой дроби – ,
означает, что данная прямая лежит в плоскости, перпендикулярной оси
,
и первые координаты всех точек этой прямой совпадают между собой и равны первой
координате точки
,
так как по условию через нее проходит нормаль к поверхности.
Таким образом, уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением ,
в точке
записывается в виде:
Ответ: 1)
– уравнение касательной плоскости к поверхности
в точке
;
2)
– уравнение нормали к этой поверхности в той же точке.