Градиент

Производная по направлению. Градиент

Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .

Будем предполагать, что функция и ее частные производные первого порядка непрерывны в области .

Предел отношения при называется производной от функции в точке по направлению вектора и обозначается , т.е. .

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу: ,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

Пусть в каждой точке некоторой области задана функция .
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается или (читается «набла у»): .

При этом говорят, что в области определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции в заданной точке используют формулу:
.

Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.

Примеры решения задач

Пример 1. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора :
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

По условию задачи вектор имеет координаты . Тогда его длина равна:
.

Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
.

Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка от функции :

Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора и значения частных производных первого порядка от функции в точке в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

Ответ: производная от функции в точке по направлению вектора равна .

Пример 2. Найти градиент функции в точке .

Решение.

Поскольку градиентом функции называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, то для решения задачи сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:

Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

Подставим полученные значения в формулу градиента функции в заданной точке :
.

Ответ: градиент функции в точке равен .

Пример 3. Найти производную функции в точке по направлению градиента функции в той же точке.

Решение.

Для нахождения производной от функции в заданной точке по направлению вектора используют формулу:
,
где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам:
.

В данном случае вектор совпадает с градиентом функции в точке : .

Следовательно, для решения задачи необходимо найти значения всех частных производных первого порядка от функции в точке , а также координаты и длину градиента функции в той же точке.

Вычислим значения частных производных первого порядка от функции в точке :

Для нахождения координат вектора , равного градиенту функции в заданной точке , вычислим значения частных производных первого порядка от функции в этой точке: