Тема "Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины"

Рассмотрим взаимно независимых случайных величин , которые имеют одинаковые распределения, а, следовательно, и одинаковые числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и другие).
Обозначим через среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин:
.
Установим связь между числовыми характеристиками среднего арифметического и соответствующими числовыми характеристиками отдельно взятой случайной величины.
1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из величин:
.
2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше дисперсии каждой из величин:
.
3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз среднего квадратического отклонения каждой из величин:
.
Таким образом, мы видим, что среднее арифметическое дает результат более надежный, чем отдельные измерения, и что с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.

Теорема Чебышева. Если – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают некоторого постоянного числа ), то, как бы ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.
Сущность теоремы Чебышева. Несмотря на то, что отдельные попарно независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа этих величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу – среднему арифметическому их математических ожиданий. Другими словами, хотя отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, их среднее арифметическое рассеяно мало.
Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины, а это означает, что если нельзя предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, то можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.