Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков
Частной
производной по
от функции
называется предел отношения частного приращения этой функции
по
к приращению ,
когда последнее стремится к нулю:
.
Частной производной по
от функции
называется предел отношения частного приращения этой функции
по
к приращению ,
когда последнее стремится к нулю:
.
Пусть задана функция
. Если аргументу
сообщить приращение ,
а аргументу
– приращение ,
то функция
получит приращение ,
которое называется полным приращением функции и определяется
формулой: .
Функция ,
полное приращение
которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения,
линейного относительно
и ,
и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
,
где
и
стремятся к нулю, когда
и
стремятся к нулю (т.е. когда ),
называется дифференцируемой в данной точке.
Линейная (относительно
и )
часть полного приращения функции называется полным дифференциалом
и обозначается :
,
где
и
– дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим
приращениям
и .
Частные производные от частных производных первого порядка называются частными
производными второго порядка. Для функции двух переменных
их четыре:
Примеры решения задач
Пример 1. Найти полный дифференциал функции .
Решение.
Полным дифференциалом
функции
называется линейная (относительно
и )
часть полного приращения функции: .
Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу.
Здесь и ниже использовалось правило дифференцирования произведения двух функций
и правило дифференцирования сложной функции одной переменной.
Ответ: