Экстремум функции двух переменных
Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.
Говорят, что функция
имеет минимум в точке ,
т.е. при ,
если
для всех точек ,
достаточно близких к точке
и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если
функция
достигает экстремума при ,
то каждая частная производная первого порядка от
или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть
в некоторой области, содержащей точку
функция
имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть,
кроме того, точка
является критической точкой функции ,
т.е.
,
тогда при :
1)
имеет максимум, если дискриминант
и ,
где ;
2)
имеет минимум, если дискриминант
и ;
3)
не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ;
4) если
, то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).
Примеры решения задач
Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .
Решение.
На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:
Частные производные первого порядка от функции
равны:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:
Подставим найденные значения переменной
во второе уравнение системы:
и
Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.
На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции :
На третьем шаге для каждой из точек и установим наличие экстремума функции (для этого вычислим значения вторых производных и найдем знак дискриминанта в указанных точках).
1) Для точки :
Так как дискриминант больше нуля и ,
то функция
имеет минимум в точке :
.
2) Для точки :
Так как дискриминант меньше нуля, то функция не имеет в точке ни минимума, ни максимума.
Ответ: в точке функция имеет минимум.